(* ::Package:: *)

(************************************************************************)
(* This file was generated automatically by the Mathematica front end.  *)
(* It contains Initialization cells from a Notebook file, which         *)
(* typically will have the same name as this file except ending in      *)
(* ".nb" instead of ".m".                                               *)
(*                                                                      *)
(* This file is intended to be loaded into the Mathematica kernel using *)
(* the package loading commands Get or Needs.  Doing so is equivalent   *)
(* to using the Evaluate Initialization Cells menu command in the front *)
(* end.                                                                 *)
(*                                                                      *)
(* DO NOT EDIT THIS FILE.  This entire file is regenerated              *)
(* automatically each time the parent Notebook file is saved in the     *)
(* Mathematica front end.  Any changes you make to this file will be    *)
(* overwritten.                                                         *)
(************************************************************************)



Int[1/(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]),x_Symbol] :=
  -Cos[c+d*x]/(d*(b+a*Sin[c+d*x])) /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[1/(a_+b_.*Cos[c_.+d_.*x_]),x_Symbol] :=
  Sin[c+d*x]/(d*(b+a*Cos[c+d*x])) /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[1/(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1)),x_Symbol] :=
  x/a - Dist[b/a,Int[1/( Sin[c+d*x]*(a+b/ Sin[c+d*x])),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]],x_Symbol] :=
  -2*b*Cos[c+d*x]/(d*Sqrt[a+b*Sin[c+d*x]]) /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[Sqrt[a_+b_.*Cos[c_.+d_.*x_]],x_Symbol] :=
  2*b*Sin[c+d*x]/(d*Sqrt[a+b*Cos[c+d*x]]) /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1)],x_Symbol] :=
  -2*Sqrt[a]/d*ArcTan[(Sqrt[a]*Cot[c+d*x])/Sqrt[a+b*Csc[c+d*x]]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[1/Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+Pi/2+d_.*x_]],x_Symbol] :=
  2/(d*Sqrt[a+b*Cos[c+d*x]])*Cos[(c+d*x)/2]*ArcTanh[Sin[(c+d*x)/2]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a-b]


Int[1/Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+Pi/2+d_.*x_]],x_Symbol] :=
  -2/(d*Sqrt[a+b*Cos[c+d*x]])*Sin[(c+d*x)/2]*ArcTanh[Cos[(c+d*x)/2]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a+b]


Int[1/Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]],x_Symbol] :=
  2/(d*Sqrt[a+b*Sin[c+d*x]])*Cos[(c+d*x)/2-Pi*b/(4*a)]*ArcTanh[Sin[(c+d*x)/2-Pi*b/(4*a)]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1))^n_,x_Symbol] :=
  -Cot[c+d*x]*(a+b*Csc[c+d*x])^n/(d*(2*n+1)) + 
  Dist[1/(a^2*(2*n+1)),Int[(a*(2*n+1)-(b*(n+1))* Sin[c+d*x]^(-1))*(a+b* Sin[c+d*x]^(-1))^(n+1),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[n] && n<-1


Int[(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1))^n_,x_Symbol] :=
  -b^2*Cot[c+d*x]*(a+b*Csc[c+d*x])^(n-2)/(d*(n-1)) + 
  Dist[a/(n-1),Int[(a*(n-1)+(b*(3*n-4))* Sin[c+d*x]^(-1))*(a+b* Sin[c+d*x]^(-1))^(n-2),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[n] && n>1 && n!=2


Int[Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+Pi/2+d_.*x_]]/ Sin[c_.+Pi/2+d_.*x_],x_Symbol] :=
  2*Sqrt[2]*b*Cos[(c+d*x)/2]/(d*Sqrt[a+b*Cos[c+d*x]])*ArcTanh[Sqrt[2]*Sin[(c+d*x)/2]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a-b]


Int[Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+Pi/2+d_.*x_]]/ Sin[c_.+Pi/2+d_.*x_],x_Symbol] :=
  2*Sqrt[2]*a*Sin[(c+d*x)/2]/(d*Sqrt[a+b*Cos[c+d*x]])*ArcTanh[Sqrt[2]*Cos[(c+d*x)/2]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a+b]


Int[Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]]/ Sin[c_.+d_.*x_],x_Symbol] :=
  2*Sqrt[2]*b*Cos[(c+d*x)/2-Pi*b/(4*a)]/(d*Sqrt[a+b*Sin[c+d*x]])*
    ArcTanh[Sqrt[2]*Sin[(c+d*x)/2-Pi*b/(4*a)]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[1/( Sin[c_.+d_.*x_]*Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]]),x_Symbol] :=
  Dist[1/a,Int[Sqrt[a+b* Sin[c+d*x]]/ Sin[c+d*x],x]] - 
  Dist[b/a,Int[1/Sqrt[a+b* Sin[c+d*x]],x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[1/Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1)],x_Symbol] :=
  1/a*Int[Sqrt[a+b* Sin[c+d*x]^(-1)],x] - 
  b/a*Int[ Sin[c+d*x]^(-1)/Sqrt[a+b* Sin[c+d*x]^(-1)],x] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[1/(Sqrt[ Sin[c_.+Pi/2+d_.*x_]]*Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+Pi/2+d_.*x_]]),x_Symbol] :=
  Sqrt[2]/(d*Sqrt[a])*ArcSin[Tan[(c+d*x)/2]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a-b] && PositiveQ[a]


Int[1/(Sqrt[ Sin[c_.+d_.*x_]]*Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]]),x_Symbol] :=
  Sqrt[2]/(d*Sqrt[a])*ArcSin[Tan[(c+d*x)/2-Pi/4]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a-b] && PositiveQ[a]


Int[1/(Sqrt[ Sin[c_.+d_.*x_]]*Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]]),x_Symbol] :=
  -Sqrt[2]*Sqrt[b]/(a*d)*ArcTan[Sqrt[b]*Cos[c+d*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[Sin[c+d*x]]*Sqrt[a+b*Sin[c+d*x]])] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2] && Not[ZeroQ[a-b] && PositiveQ[a]]


Int[Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]]/Sqrt[ Sin[c_.+d_.*x_]],x_Symbol] :=
  -2*Sqrt[b]/d*ArcTan[Sqrt[b]*Cos[c+d*x]/(Sqrt[Sin[c+d*x]]*Sqrt[a+b*Sin[c+d*x]])] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[Sqrt[ Sin[c_.+d_.*x_]]/Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]],x_Symbol] :=
  Dist[1/b,Int[Sqrt[a+b* Sin[c+d*x]]/Sqrt[ Sin[c+d*x]],x]] - 
  Dist[a/b,Int[1/(Sqrt[ Sin[c+d*x]]*Sqrt[a+b* Sin[c+d*x]]),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_./(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^2,x_Symbol] :=
  -a*Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^m/(3*b*d*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^2) + 
  1/(6*a*b)*Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m-j*k),x] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m] && 
  ZeroQ[2*j*k*m+k-2]


(* Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^n_,x_Symbol] :=
  a*Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^m*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^n/(b*d*(2*n+1)) + 
  Dist[(n+1)/(2*a*b*(2*n+1)),Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m-j*k)*(a+b* Sin[c+d*x]^k)^(n+2),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && 
  ZeroQ[2*j*k*m+n+k] && j*k*m>0 && n<-1 *)


Int[ Sin[c_.+d_.*x_]^(-1)/(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1)),x_Symbol] :=
  -Cot[c+d*x]/(d*(b+a*Csc[c+d*x])) /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[ Sin[c_.+d_.*x_]^(-1)*Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1)],x_Symbol] :=
  -2*b*Cot[c+d*x]/(d*Sqrt[a+b*Csc[c+d*x]]) /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[1/( Sin[c_.+d_.*x_]*Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1)]),x_Symbol] :=
  -Sqrt[2*a]/(b*d)*ArcTan[Sqrt[a]*Cot[c + d*x]/(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*Csc[c + d*x]])] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[ Sin[c_.+d_.*x_]^(-2)*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1))^n_.,x_Symbol] :=
  -Cot[c+d*x]*(a+b*Csc[c+d*x])^n/(d*(2*n+1)) + 
  Dist[n/(b*(2*n+1)),Int[ Sin[c+d*x]^(-1)*(a+b* Sin[c+d*x]^(-1))^(n+1),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[n] && n<-1


Int[ Sin[c_.+d_.*x_]^(-2)*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1))^n_.,x_Symbol] :=
  -Cot[c+d*x]*(a+b*Csc[c+d*x])^n/(d*(n+1)) + 
  Dist[b*n/(a*(n+1)),Int[ Sin[c+d*x]^(-1)*(a+b* Sin[c+d*x]^(-1))^n,x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[n] && n>-1 && n!=1 && n!=2


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_/Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1)],x_Symbol] :=
  Dist[1/b,Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m+j)*Sqrt[a+b* Sin[c+d*x]^(-1)],x]] - 
  Dist[a/b,Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m+j)/Sqrt[a+b* Sin[c+d*x]^(-1)],x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m] && j*m==-3/2


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_/Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1)],x_Symbol] :=
  -2*Cos[c+d*x]/(d*(Sin[c+d*x]^j)^m*Sqrt[a+b*Csc[c+d*x]]) - 
  Dist[a/b,Int[1/(( Sin[c+d*x]^j)^m*Sqrt[a+b* Sin[c+d*x]^(-1)]),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m] && j*m==1/2


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1))^(3/2),x_Symbol] :=
  -2*a^2*Cos[c+d*x]/(d*(Sin[c+d*x]^j)^m*Sqrt[a+b*Csc[c+d*x]]) + 
  Dist[b,Int[Sqrt[a+b* Sin[c+d*x]^(-1)]/( Sin[c+d*x]^j)^m,x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m] && j*m==1/2


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1))^n_,x_Symbol] :=
  Dist[(Sin[c+d*x]^j)^m*Sqrt[b+a*Sin[c+d*x]]/Sqrt[a+b*Csc[c+d*x]],
    Int[(b+a* Sin[c+d*x])^n/ Sin[c+d*x]^(n+1/2),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && j*m==-1/2 && n^2==1/4


Int[1/(Sqrt[ Sin[c_.+d_.*x_]^(-1)]*Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]]),x_Symbol] :=
  Dist[1/b,Int[Sqrt[ Sin[c+d*x]^(-1)]*Sqrt[a+b* Sin[c+d*x]],x]] - 
  Dist[a/b,Int[Sqrt[ Sin[c+d*x]^(-1)]/Sqrt[a+b* Sin[c+d*x]],x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2]


Int[Sqrt[ Sin[c_.+d_.*x_]^(-1)]*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_])^n_,x_Symbol] :=
  Dist[Sqrt[Csc[c+d*x]]*Sqrt[Sin[c+d*x]],Int[(a+b* Sin[c+d*x])^n/Sqrt[ Sin[c+d*x]],x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[n] && n^2==1/4


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_*Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.],x_Symbol] :=
  -2*a*Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)/(d*Sqrt[a+b*Sin[c+d*x]^k]) /;
FreeQ[{a,b,c,d,m},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && ZeroQ[2*j*k*m+k+2]


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.],x_Symbol] :=
  2*a*Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)/(d*(2*j*k*m+k+1)*Sqrt[a+b*Sin[c+d*x]^k]) + 
  Dist[b*(2*j*k*m+k+2)/(a*(2*j*k*m+k+1)),Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)*Sqrt[a+b* Sin[c+d*x]^k],x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m] && 
  j*k*m<=-1 && NonzeroQ[2*j*k*m+k+2]


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*Sqrt[a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.],x_Symbol] :=
  -2*b*Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^m/(d*k*(2*j*m+1)*Sqrt[a+b*Sin[c+d*x]^k]) + 
  Dist[a*(2*j*k*m+k-1)/(b*k*(2*j*m+1)),Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m-j*k)*Sqrt[a+b* Sin[c+d*x]^k],x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m] && 
  NonzeroQ[2*j*m+1] && j*k*m>0 && j*k*m!=1 && j*k*m!=2


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^n_,x_Symbol] :=
  -Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^n/(d*(n+1)) + 
  Dist[a*n/(b*(n+1)),Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)*(a+b* Sin[c+d*x]^k)^n,x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && 
  ZeroQ[j*k*m+n+(k+3)/2] && n>-1 && n!=1 && n!=2


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^n_,x_Symbol] :=
  -Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^n/(d*(2*n+1)) + 
  Dist[n/(a*(2*n+1)),Int[( Sin[c+d*x]^j)^m*(a+b* Sin[c+d*x]^k)^(n+1),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && 
  ZeroQ[j*k*m+n+(k+3)/2] && j*k*m!=1 && j*k*m!=2 && n<-1


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^n_,x_Symbol] :=
  -a*Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^(n-1)/(d*n) + 
  Dist[b*(2*n-1)/n,Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)*(a+b* Sin[c+d*x]^k)^(n-1),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && 
  ZeroQ[j*k*m+n+(k+1)/2] && n>0 && n!=1/2 && n!=1 && n!=2


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^n_,x_Symbol] :=
  a*Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^m*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^n/(b*d*(2*n+1)) + 
  Dist[(n+1)/(b*(2*n+1)),Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m-j*k)*(a+b* Sin[c+d*x]^k)^(n+1),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && 
  ZeroQ[j*k*m+n+(k+1)/2] && j*k*m!=1 && j*k*m!=2 && n<-1


Int[(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_])^n_,x_Symbol] :=
  b*Cos[c+d*x]*(a+b*Sin[c+d*x])^n/(a*d*(2*n+1)) +
  Dist[(n+1)/(a*(2*n+1)),Int[(a+b* Sin[c+d*x])^(n+1),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[n] && n<-1


Int[ Sin[c_.+d_.*x_]^(-1)*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1))^n_,x_Symbol] :=
  b*Cot[c+d*x]*(a+b*Csc[c+d*x])^n/(a*d*(2*n+1)) + 
  Dist[(n+1)/(a*(2*n+1)),Int[ Sin[c+d*x]^(-1)*(a+b/ Sin[c+d*x])^(n+1),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[n] && n<-1


Int[(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_])^n_,x_Symbol] :=
  -b*Cos[c+d*x]*(a+b*Sin[c+d*x])^(n-1)/(d*n) +
  Dist[a*(2*n-1)/n,Int[(a+b* Sin[c+d*x])^(n-1),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[n] && n>0 && n!=1 && n!=2


Int[ Sin[c_.+d_.*x_]^(-1)*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^(-1))^n_.,x_Symbol] :=
  -b*Cot[c+d*x]*(a+b*Csc[c+d*x])^(n-1)/(d*n) + 
  Dist[a*(2*n-1)/n,Int[ Sin[c+d*x]^(-1)*(a+b* Sin[c+d*x]^(-1))^(n-1),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[n] && n>0 && n!=1/2 && n!=1 && n!=2


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^n_,x_Symbol] :=
  -Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^(m-j*k)*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^n/(d*(2*n+1)) + 
  Dist[1/(a^2*(2*n+1)),
    Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m-2*j*k)*
      (a*(j*k*m+(k-3)/2)-b*(j*k*m-n+(k-3)/2)* Sin[c+d*x]^k)*(a+b* Sin[c+d*x]^k)^(n+1),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && 
  j*k*m>1 && j*k*m!=2 && n<=-1


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^n_,x_Symbol] :=
  a*Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^m*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^n/(b*d*(2*n+1)) + 
  Dist[1/(b^2*(2*n+1)),
    Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m-j*k)*
      (-b*(j*k*m+(k-1)/2)+a*(j*k*m+n+(k+1)/2)* Sin[c+d*x]^k)*(a+b* Sin[c+d*x]^k)^(n+1),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && 
  0<j*k*m<1 && n<=-1


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^n_,x_Symbol] :=
  -Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^(m-j*k)*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^n/(d*(j*k*m+n+(k-1)/2)) + 
  Dist[1/(b*(j*k*m+n+(k-1)/2)),
    Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m-2*j*k)*(b*(j*k*m+(k-3)/2)+a*n* Sin[c+d*x]^k)*(a+b* Sin[c+d*x]^k)^n,x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && 
  NonzeroQ[j*k*m+n+(k-1)/2] && j*k*m>1 && j*k*m!=2 && -1<n<0 && j*k*m-1!=n


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^n_,x_Symbol] :=
  -b^2*Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^(n-2)/(d*(j*k*m+n+(k-1)/2)) + 
  Dist[a/(j*k*m+n+(k-1)/2),
    Int[( Sin[c+d*x]^j)^m*
      (a*(2*j*k*m+n+k)+b*(2*j*k*m+3*n+k-3)* Sin[c+d*x]^k)*(a+b* Sin[c+d*x]^k)^(n-2),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && 
  NonzeroQ[j*k*m+n+(k-1)/2] && j*k*m>=-1 && j*k*m!=1 && j*k*m!=2 && n>1 && n!=2


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^n_,x_Symbol] :=
  -b*Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^m*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^(n-1)/(d*(j*k*m+n+(k-1)/2)) + 
  Dist[1/(j*k*m+n+(k-1)/2),
    Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m-j*k)*
      (b*(j*k*m+(k-1)/2)+a*(j*k*m+2*n+(k-3)/2)* Sin[c+d*x]^k)*(a+b* Sin[c+d*x]^k)^(n-1),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && 
  j*k*m>0 && j*k*m!=1 && j*k*m!=2 && 0<n<1 && n!=1/2


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^n_,x_Symbol] :=
  a^2*Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^(n-2)/(d*(j*k*m+(k+1)/2)) + 
  Dist[a/(j*k*m+(k+1)/2),
    Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)*
      (b*(2*j*k*m-n+k+3)+a*(2*j*k*m+n+k)* Sin[c+d*x]^k)*(a+b* Sin[c+d*x]^k)^(n-2),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && 
  j*k*m<-1 && n>1 && n!=2


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^n_,x_Symbol] :=
  a*Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^(n-1)/(d*(j*k*m+(k+1)/2)) + 
  Dist[1/(j*k*m+(k+1)/2),
    Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)*
      (b*(j*k*m-n+(k+3)/2)+a*(j*k*m+n+(k+1)/2)* Sin[c+d*x]^k)*(a+b* Sin[c+d*x]^k)^(n-1),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && 
  j*k*m<-1 && 0<n<1 && n!=1/2


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^n_,x_Symbol] :=
  Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^n/(d*(j*k*m+(k+1)/2)) + 
  Dist[1/(b*(j*k*m+(k+1)/2)),
    Int[( Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)*(-a*n+b*(j*k*m+n+(k+3)/2)* Sin[c+d*x]^k)*(a+b* Sin[c+d*x]^k)^n,x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && 
  NonzeroQ[j*k*m+(k+1)/2] && j*k*m<=-1 && -1<n<0


Int[( Sin[c_.+d_.*x_]^j_.)^m_.*(a_+b_.* Sin[c_.+d_.*x_]^k_.)^n_,x_Symbol] :=
  -Cos[c+d*x]*(Sin[c+d*x]^j)^(m+j*k)*(a+b*Sin[c+d*x]^k)^n/(d*(2*n+1)) + 
  Dist[1/(a^2*(2*n+1)),
    Int[( Sin[c+d*x]^j)^m*
      (a*(j*k*m+2*n+(k+3)/2)-b*(j*k*m+n+(k+3)/2)* Sin[c+d*x]^k)*(a+b* Sin[c+d*x]^k)^(n+1),x]] /;
FreeQ[{a,b,c,d},x] && OneQ[j^2,k^2] && ZeroQ[a^2-b^2] && RationalQ[m,n] && 
  j*k*m<0 && n<=-1
